树状数组

数组数组解决的问题：

输入一个数m，输出数组中下面1 ~ m的前缀和
对某个指定下标的数进行值的修改，同时影响到前缀和数组。

如果使用差分数组操作，第二个操作是O(n^2)的复杂度。
而使用树状数组复杂度可以达到O(logn)的复杂度

数装数组的思想就是通过二进制来维护数组的信息。
可以看如下的数组图片，就可以理解为什么叫“树状”

通过变换之后，

如图，对于一个长度为n的数组，A数组存放的是数组的初始值，引入一个辅助数组C；

则有如下信息：
C1 = A1
C2 = C1 + A2 = A1 + A2
C3 = A3
C4 = C2 + C3 + A4 = A1 + A2 + A3 + A4
C5 = A5
C6 = C5 + A6 = A5 + A6
C7 = A7
C8 = C4 + C6 + C7 + A8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8

称C[i]的值为下标为i的数所管辖的数的和，下标为i的数所管辖的元素的个数为2 ^ k个（k为i的二进制的末尾的0的个数），C数组不是前缀和的数组。

例如：

i = 8 = 1000, 末尾有3个0，故k = 3,所管辖的个数为2 ^ 3 = 8,C8是8个数的和；
i = 5 = 0101, 末尾没有0，故k = 0，所管辖的个数为2 ^ 0 = 1，C5是一个数的和。

而对于输入的数m，我们要求编号为m的前缀和A1,...,Am，按照上面说的，SUMm = Ci1 + Ci2 + ,...，这里的m和C[i]的对应关系式这样的，对于查询m，将它转换为二进制后，不断对末尾的1的位置进行-1操作，知道全部为0停止，中间得到的值就是C[i],例如：

m = 7，SUM7 = C7 + C6 + C4，7的二进制为0111，对于0111的末尾1的位置-1，得到0110 = 6（C6得到），再对0110末尾1位置-1，得到0100 = 4（C4得到），最后对0100末尾1位置-1后得到0000（结束），计算停止，至此C7，C6，C4全部得到，求和后就是m = 7时它的前缀和。
m = 6， SUM6 = C6 + C7，6的2进制等于0110，经过两次变换后为0100和0000，那么求和后同样也得到了预计的后果。

那么求前缀和的代码如下：

int lowbit(int m){
	return m & (-m);
}

int getSum(int m){
	int ans = 0;
    while(m > 0){
        ans += C[m];
        m -= lowbit(m);
    }
    return ans;
}

建立数组数组

对于一个输入的数组A，我们一次读取的过程，就可以想成一个不断更新值的过程，所以建树与单点更新值是一样的，即把A1，...，An从0更新成我们输入的A[i]，所以一边读入A[i]，一边讲C[i]涉及的祖先节点更新，完成输入后数妆数组C也就建立成功了。

更新节点值：

假设更新A[2] = 5，通过观察我们得知，如果修改了A[2]的值，那么管辖A[2]的C[2]，C[4]，C[8]的前缀和都要加上5（所有的祖先节点），那么和查询类似，我们如何得到C2的所有祖先节点呢，依旧是上述的巧妙的方法，但是我们把它倒过来用，对于要更新i位置的值，我们把i转换成二进制，不断对二进制最后一个1的位置+1，直到达到数组下标的最大值n结束，对于给出的例子i = 2，假设数组下标上限n = 8，i转换成二进制后等于0010（C2），对末尾1的位置进行+1，得到0100（C4），对末尾的1的位置进行+1，得到1000（C8），循环结束，对C2, C4, C8的前缀和都要+5，当然不能忘记对A[2]的值+5，单点更新值过程结束。

void update(int x, int value){
    A[x] += value;	// 修改源数组
    while(x <= n){
        C[x] += value;
        x += lowbit(x);
    }
}

主要代码

#include<stdio.h>
#include<string.h>

int a[10005];
int c[10005];
int n;

int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}

int getSum(int x){
    int ans = 0;
    while(x > 0){
        ans += c[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return ans;
}

void update(int x, int value){
    a[x] += value;
    while(x <= n){
        c[x] += value;
        x += lowbit(x);
    }
}

int main(){
    while(scanf("%d", &n)!=EOF){
        memset(a, 0, sizeof(a));
        memset(c, 0, sizeof(c));
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            scanf("%d", &a[i]);
            update(i, a[i]);
        }
        int ans = getSum(n-1);
        printf("%d\n", ans);
    }   
    return 0;
}

树状数组

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